Ungleichungen – Übungen

• Ungleichungen enthalten ein Vergleichszeichen.
  Vergleichszeichen sind: $\lt, \gt, \le$ und $\ge$.
• Das Zeichen $\lt$ bedeutet kleiner.
  Beispiel: $2 \lt 5$ gesprochen „zwei kleiner fünf“
• Das Zeichen $\gt$ bedeutet größer.
  Beispiel: $7 \gt 5$ gesprochen „sieben größer fünf“
• Das Zeichen $\le$ bedeutet kleiner-gleich.
  Beispiel: $x \le 5$ gesprochen „x kleiner-gleich fünf“
• Das Zeichen $\ge$ bedeutet größer-gleich.
  Beispiel: $4 \ge x$ gesprochen „vier größer-gleich x“

• Wird eine Ungelichung auf beiden Seiten mit einer negativen Zahl multipliziert, dann ändert sich die Richtung des Vergleichszeichens.
  Beispiel:

$$\begin{array}{rcrl} -3 & \lt & 4 && |\, \cdot \, (-2) \\ 6 & \gt & -8 && \end{array}$$

Rechenweg:
Setze $x = 4$ ein:
$$24 : 4 = 6$$ Prüfe: $6 \leq 6$ ist richtig.

Lösung:
Die Ungleichung ist erfüllt, da $6$ kleiner oder gleich $6$ ist.

Rechenweg:
Setze $x = 5$ ein:
$$35 + 5 = 40$$
Prüfe: $40 > 38$ ist richtig.

Lösung:
Die Ungleichung ist erfüllt, da $40$ größer als $38$ ist.

Rechenweg:
Setze $x = 7$ ein:
$$49 : 7 = 7$$
Prüfe: $7 < 10$ ist richtig.

Lösung:
Die Ungleichung ist erfüllt, da $7$ kleiner als $10$ ist.

Rechenweg:
Setze $x = 3$ ein:
$$22 \cdot 3 = 66$$
Prüfe: $66 \geq 70$ ist falsch.

Lösung:
Die Ungleichung ist nicht erfüllt, da $66$ nicht größer oder gleich $70$ ist.

Rechenweg:
Setze $x = 34$ ein:
$$80 - 34 = 46$$
Prüfe: $46 \leq 60$ ist richtig.

Lösung:
Die Ungleichung ist erfüllt, da $46$ kleiner oder gleich $60$ ist.

Rechenweg:
Setze $x = 6$ ein
$$42 : 6 = 7$$
Prüfe: $7 > 9$ ist falsch.

Lösung:
Die Ungleichung ist nicht erfüllt, da $7$ nicht größer als $9$ ist.

Rechenweg:
Setze $x = 7$ ein:
$$99 + 7 = 106$$
Prüfe: $106 < 100$ ist falsch.

Lösung:
Die Ungleichung ist nicht erfüllt, da $106$ nicht kleiner als $100$ ist.

Rechenweg:
Setze $x = 8$ ein:
$$8 \cdot 10 = 80$$
Prüfe: $80 \geq 50$ ist richtig.

Lösung:
Die Ungleichung ist erfüllt, da $80$ größer oder gleich $50$ ist.

Rechenweg:
Setze $x = 6$ ein:
$$17 + 6 = 23$$
Prüfe: $23 \leq 23$ ist richtig.

Lösung:
Die Ungleichung ist erfüllt, da $23$ gleich $23$ ist.

Rechenweg:
Setze $x = 10$ ein:
$$90 : 10 = 9$$
Prüfe: $9 > 8$ ist richtig.

Lösung:
Die Ungleichung ist erfüllt, da $9$ größer als $8$ ist.

Rechenweg:
Subtrahiere $12$ auf beiden Seiten:
$3x \leq 21$

Teile durch $3$:
$x \leq 7$

Lösung:
Alle Zahlen kleiner oder gleich $7$ erfüllen die Ungleichung.

Rechenweg:
Subtrahiere $100$ auf beiden Seiten:
$-4x < -56$

Teile durch $-4$ und drehe das Ungleichheitszeichen um:
$x > 14$

Lösung:
Alle Zahlen größer als $14$ erfüllen die Ungleichung.

Rechenweg:
Addiere $30$ auf beiden Seiten:
$5x \geq 90$

Teile durch $5$:
$x \geq 18$

Lösung:
Alle Zahlen größer oder gleich $18$ erfüllen die Ungleichung.

Rechenweg:
Subtrahiere $80$ auf beiden Seiten:
$-2x \leq -30$

Teile durch $-2$ und drehe das Ungleichheitszeichen um:
$x \geq 15$

Lösung:
Alle Zahlen größer oder gleich $15$ erfüllen die Ungleichung.

Rechenweg:
Subtrahiere $45$ auf beiden Seiten:
$6x > 30$

Teile durch $6$:
$x > 5$

Lösung:
Alle Zahlen größer als $5$ erfüllen die Ungleichung.

Rechenweg:
Subtrahiere $150$ auf beiden Seiten:
$-10x \geq -60$

Teile durch $-10$ und drehe das Ungleichheitszeichen um:
$x \leq 6$

Lösung:
Alle Zahlen kleiner oder gleich $6$ erfüllen die Ungleichung.

Rechenweg:
Subtrahiere $28$ auf beiden Seiten:
$7x \leq 56$

Teile durch $7$:
$x \leq 8$

Lösung:
Alle Zahlen kleiner oder gleich $8$ erfüllen die Ungleichung.

Rechenweg:
Subtrahiere $200$ auf beiden Seiten:
$-25x < -150$

Teile durch $-25$ und drehe das Ungleichheitszeichen um:
$x > 6$

Lösung:
Alle Zahlen größer als $6$ erfüllen die Ungleichung.

Rechenweg:
Addiere $120$ auf beiden Seiten:
$10x \geq 150$

Teile durch $10$:
$x \geq 15$

Lösung:
Alle Zahlen größer oder gleich $15$ erfüllen die Ungleichung.

Rechenweg:
Subtrahiere $300$ auf beiden Seiten:
$-5x \leq -125$

Teile durch $-5$ und drehe das Ungleichheitszeichen um:
$x \geq 25$

Lösung:
Alle Zahlen größer oder gleich $25$ erfüllen die Ungleichung.

Verstehen der Aufgabe:
Berechne das Gesamtgewicht für $x$ Kisten und vergleiche es mit der maximalen Traglast von $250~\text{kg}$ des Regals.

Rechenweg:
Beschreibe das Gewicht der Kisten als Term:
$x \cdot 42 = 42x$

Vergleiche das Gewicht der Kisten mit dem maximalen Gewicht:
$42x \le 250$

Schreibe als Ungleichung und löse:

$$\begin{array}{cccl}42x & \le & 250 & |:42 \\ x & \le & 5,95\end{array}$$

Antwort:
In dem Regal können maximal 5 Kisten gelagert werden.

Verstehen der Aufgabe:
Berechne die Gesamtkosten für $x$ Personen und vergleiche sie mit $60\,€$.

Rechenweg:
Berechne die Gesamtkosten für $x$ Personen:
$x \cdot 8{,}50 = 8{,}5x$

Vergleiche die Gesamtkosten mit dem Budget:
$8{,}5x \le 60$

Schreibe als Ungleichung und löse:

$$\begin{array}{cccl}8{,}8{,}5x & \le & 60 & |:8{,}5 \\ x & \le & 7{,}06\end{array}$$

Antwort:
Max kann mit seinem Budget maximal 7 Leute einladen.

Verstehen der Aufgabe:
Berechne das Gesamtgewicht für $x$ Bücher und vergleiche es mit $7~\text{kg}$.

Rechenweg:
Berechne das Gewicht der Bücher:
$x \cdot 0{,}6 = 0{,}6x$

Addiere das Gewicht der Bücher zum Gewicht des Notebooks:
$0{,}6x + 2{,}5$

Schreibe als Ungleichung und löse:

$$\begin{array}{cccl}0{,}6x + 2{,}5 & \le & 7 & |-2{,}5 \\ 0{,}6x & \le & 4{,}5 & |:0{,}6 \\ x & \le & 7{,}5\end{array}$$

Antwort:
Lisa kann maximal $7$ Bücher einpacken, damit der Rucksack nicht zu schwer wird.